023
# 3.4.3.11.10. 线性方程组的解法
求解线性方程组的三种方法
1. 高斯消元法
2. 求解线性方程组的克拉默法则
3. 矩阵的逆
高斯消元法
1. 将一个方程组的增广矩阵写出来
2. 通过消元操作，将这个增广矩阵转化为行阶梯形矩阵
3. 如果行阶梯形矩阵是行最简形矩阵，那么解就出来了，否则求解步骤如下
4. 对于每一列，找到第一非零元素所在的行
5. 用这个第一非零元素所在的行除以它所在的列，从而消去这一列其他元素
6. 然后重复步骤4，直到矩阵的每一列只包含一个第一非零元素，即行最简形矩阵
求解线性方程组的克拉默法则
1. 将原方程组写为增广矩阵的形式
2. 计算行列式 $D$ 的值
3. 如果 $D \neq 0$，则原方程组有唯一解，否则无解或有无数解
4. 计算 $D_1, D_2, \cdots, D_n$ 分别是 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 对应的行列式
5. 最后解得解为 $x_1 = \frac{D_1}{D}, x_2 = \frac{D_2}{D}, \cdots, x_n = \frac{D_n}{D}$
矩阵的逆
1. 如果方程组的增广矩阵是可逆矩阵，那么方程组有唯一解
2. 计算��程组的增广矩阵的逆矩阵
3. 方程组的解为 $X = A^{-1}B$
示例
示例1
求解方程组：
\begin{aligned} 3x + 2y - z &= 1 \\ 2x + y + z &= 2 \\ -x + 2y + 3z &= 0 \end{aligned}
1. 写出增广矩阵：
$$\left[ \begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 3 & 0 \end{array} \right]$$
2. 通过消元操作，将这个增广矩阵转化为行阶梯形矩阵：
\begin{aligned} &R_2 \leftarrow R_2 - \frac{2}{3} R_1 \\ &R_3 \leftarrow R_3 + \frac{1}{3} R_1 \\ \left[ \begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & -\frac{1}{3} & \frac{5}{3} & \frac{4}{3} \\ 0 & \frac{8}{3} & \frac{8}{3} & \frac{1}{3} \end{array} \right] \end{aligned}
3. 将行阶梯形矩阵转化为行最简形矩阵：
\begin{aligned} &R_3 \leftarrow R_3 + 8 R_2 \\ &R_2 \leftarrow -3 R_2 \\ \left[ \begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & -\frac{1}{3} & \frac{5}{3} & \frac{4}{3} \\ 0 & 0 & 13 & 3 \end{array} \right] \\ &R_2 \leftarrow -3 R_2 \\ &R_1 \leftarrow R_1 + \frac{1}{3} R_3 \\ \left[ \begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & 0 & 5 \\ 0 & -\frac{1}{3} & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 13 & 3 \end{array} \right] \\ &R_1 \leftarrow \frac{1}{3} R_1 \\ &R_2 \leftarrow -3 R_2 \\ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & \frac{2}{3} & 0 & \frac{5}{3} \\ 0 & 1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{3}{13} \end{array} \right] \\ &R_1 \leftarrow R_1 - \frac{2}{3} R_2 \\ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{3}{13} \end{array} \right] \end{aligned}
4. 从行最简形矩阵中得到解：
$$x = 5, y = -3, z = \frac{3}{13}$$
示例2
求解方程组：
\begin{aligned} 2x +